(、著）のp9 問題1.1 6 の解答・解説

(、著）のp9 の解答・解説

問題1.1 6 実数の演算(加減乗除)は有理数の演算と実数の連続性を用いて定義される．たとえば積は次のように定義する．実数 $\100dpi \alpha$ ， $\100dpi \beta$ に対して，上の問5(5)
「任意の実数 $\100dpi \alpha$ はある単調増加な有理数列の極限となる．」より有理数列 $\100dpi \{a_{n}\}$ ， $\100dpi \{b_{n}\}$ で $\100dpi \lim_{n\rightarrow \infty }a_{n}=\alpha$ ， $\100dpi \lim_{n\rightarrow \infty }b_{n}=\beta$ となるものが存在する．そこで
$\100dpi \alpha \beta =\lim_{n\rightarrow \infty }a_{n}b_{n}$
と定義するのである．数列 $\100dpi \{a_{n}b_{n}\}$ はつねに収束し，その極限は $\100dpi \{a_{n}\}$ ， $\100dpi \{b_{n}\}$
のとり方によらないことを示せ．

(解答)
$\100dpi \alpha$ ， $\100dpi \beta$ が正のとき，
$\100dpi \{a_{n}\}$ ， $\100dpi \{b_{n}\}$ を，項がすべて $\100dpi 0$ 以上である単調増加な数列とすると， $\100dpi \{a_{n}b_{n}\}$ は単調増加で有界な数列であるから収束する．その極限を $\100dpi A$ とする．
一般に $\100dpi \{a'_{n}\}$ ， $\100dpi \{b'_{n}\}$ が各々 $\100dpi \alpha$ ， $\100dpi \beta$ に収束する数列とする． $\100dpi \{a'_{n}\}$ ， $\100dpi \{b_{n}\}$ は収束するから有界なので， $\100dpi |a'_{n}| < M$ ， $\100dpi |b_{n}| < M$ とすると，
$\100dpi |A-a'_{n}b'_{n}|\leqq |A-a_{n}b_{n}|+|(a_{n}-a'_{n})b_{n}|+|a'_{n}(b_{n}-b'(n))|$
$\100dpi \leqq |A-a_{n}b_{n}|+M|a_{n}-a'_{n}|+M|b_{n}-b'(n)| \rightarrow 0(n\rightarrow \infty )$
となるから， $\100dpi \{a'_{n}b'_{n}\}$ も $\100dpi A$ に収束する．

(ii) (i)以外のとき，
$\100dpi |\alpha | < k$ ， $\100dpi |\beta | < k$ を満たす整数 $\100dpi k(k\geqq 1)$ が存在する． $\100dpi \{a_{n}+k\}$ ， $\100dpi \{b_{n}+k\}$ は，単調増加な有理数列で， $\100dpi \lim_{n\rightarrow \infty }(a_{n}+k)=\alpha +k$ ， $\100dpi \lim_{n\rightarrow \infty }(b_{n}+k)=\beta +k$ となるものが存在する． $\100dpi \{(a_{n}+k)(b_{n}+k)\}$ は単調増加で有界な数列であるから収束する．その極限を $\100dpi A$ とする．このとき， $\100dpi \{a_{n}b_{n}\}$ の極限は， $\100dpi A-k(\alpha +\beta )-k^2$ となる．
$\100dpi \alpha +k$ ， $\100dpi \beta +k$ が正なので，(?)より，一般に $\100dpi \{a'_{n}+k\}$ ， $\100dpi \{b'_{n}+k\}$ が各々 $\100dpi \alpha +k$ ， $\100dpi \beta +k$ に収束する数列ならば， $\100dpi \{(a'_{n}+k)(b'_{n}+k)\}$ も $\100dpi A$ に収束するので， $\100dpi \{a'_{n}b'_{n}\}$ の極限は， $\100dpi A-k(\alpha +\beta )-k^2$ となる．

(i)，(ii)より，いずれの場合にも，数列 $\100dpi \{a_{n}b_{n}\}$ はつねに収束し，その極限は $\100dpi \{a_{n}\}$ ， $\100dpi \{b_{n}\}$ のとり方によらないことが示せた．

ポイント：
$\100dpi \{a_{n}\}$ ， $\100dpi \{b_{n}\}$ は単調増加な数列であるが，
$\100dpi \{a_{n}b_{n}\}$ は単調増加な数列ではない例は，たくさん存在する．
$\100dpi \{a_{n}\}$ ， $\100dpi \{b_{n}\}$ の項がすべて $\100dpi 0$ 以上のとき，
$\100dpi \{a_{n}\}$ ， $\100dpi \{b_{n}\}$ が単調増加な数列ならば， $\100dpi \{a_{n}b_{n}\}$ も単調増加な数列である．
$\100dpi |a-d|\leqq |a-b|+|b-c|+|c-d|$

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