入門微分積分 (培風館、三宅敏恒著）のp14 問題1.2 2 (2)の解答・解説

入門微分積分 (培風館、三宅敏恒著）のp14 の解答・解説

問題1.2 2 つぎの関数は $\100dpi x=0$ で連続かどうか答えよ．
(2) $\100dpi \begin{cases} \displaystyle{x\sin {\frac{1}{x}}} & (x\neq 0)\\ 1 & (x=0) \end{cases}$

(解答)
$\100dpi \Big|\sin{\frac{1}{x}}\Big| \leqq 1$ なので， $\100dpi \Big|x\sin{\frac{1}{x}}\Big| \leqq |x|$ が成り立つ． $\100dpi \lim_{x\rightarrow 0}|x|=0$ なので，
はさみうちの原理より， $\100dpi \lim_{x\rightarrow 0}x\sin{\frac{1}{x}}=0$ である．
$\100dpi \lim_{x\rightarrow 0}f(x)=\lim_{x\rightarrow 0}x\sin {\frac{1}{x}}=0$ ， $\100dpi f(0)=1$ より， $\100dpi f(x)$ は $\100dpi x=0$ で不連続である．

ポイント：
$\100dpi f(x)$ が $\100dpi x=0$ で連続 $\100dpi \Longleftrightarrow \lim_{x\rightarrow 0}f(x)=f(0)$

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入門微分積分 (培風館、三宅 敏恒著）のp14 問題1.2 2 (2)の解答・解説

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