入門微分積分 (培風館、三宅敏恒著）のp14 問題1.2 4 の解答・解説

入門微分積分 (培風館、三宅敏恒著）のp14 の解答・解説

問題1.2 4 $\100dpi f(x)$ が区間 $\100dpi I$ で連続ならば， $\100dpi |f(x)|$ も $\100dpi I$ で連続であることを示せ．

(解答)
$\100dpi f(x)$ が区間 $\100dpi I$ で連続なので， $\100dpi x,a\in I$ に対し，
$\100dpi |f(x)-f(a)|\rightarrow 0 (x\rightarrow a)$
が成り立つ． $\100dpi ||f(x)|-|f(a)||\leqq |f(x)-f(a)|$ より，
$\100dpi ||f(x)|-|f(a)||\leqq |f(x)-f(a)|\rightarrow 0 (x\rightarrow a)$
が成り立つので， $\100dpi |f(x)|$ も $\100dpi I$ で連続である．

ポイント：
$\100dpi f(x)$ が区間 $\100dpi I$ で連続 $\100dpi \Longleftrightarrow x,a\in I$ に対し， $\100dpi |f(x)-f(a)|\rightarrow 0 (x\rightarrow a)$
$\100dpi |b|+|a-b|\geqq |b+(a-b)|=|a|$ より， $\100dpi |a|-|b|\leqq |a-b|$ が成り立ち，
$\100dpi |b|-|a|\leqq |b-a|=|a-b|$ も成り立つ．
$\100dpi \begin{cases} |a|-|b|\leqq |a-b| \\ |b|-|a|\leqq |a-b| \end{cases} \Longleftrightarrow ||a|-|b||\leqq |a-b|$

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