入門微分積分 (培風館、三宅 敏恒著)のp14 の解答・解説
問題1.2 6
)
は

で定義された連続関数とする.すべての

について
\leqq 1)
であるならば
=c)
となる

が存在することを示せ.
(解答)
=x-f(x))
とおくと,
)
は閉区間

で連続関数であり,
である.
(i)
=0)
または,
=0)
のいずれかが成り立つとき
=0)
または,
=1)
となるので,命題は成り立つ.
(ii)
g(1)\neq 0)
のとき
 < 0)
,
 > 0)
であるから,中間値の定理より,
=0)
は
の区間に解

を持つ.よって,
=c)
となる
)
が存在する.
(i),(ii)より,題意は示した.
ポイント:
中間値の定理
)
が閉区間

において連続で
\neq f(b))
ならば,
)
と
)
の間の任意の数

に対して
=l)
となる
)
が必ず存在する.
本問題では,中間値の定理を,

のときについて用いた.
)
が閉区間

において連続で
f(b) < 0)
ならば,
=0)
となる
)
が必ず存在する.
(i)
=0)
または,
=0)
のいずれかが成り立つとき
=c)
となる

は,

または

であり,
(i)
g(1)\neq 0)
のとき
=c)
となる
)
が存在する.
(i),(ii)より,
=c)
となる

が存在する.
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