入門微分積分 (培風館、三宅敏恒著）のp19 問題1.3 3 (2)の解答・解説

入門微分積分 (培風館、三宅敏恒著）のp19 の解答・解説

問題1.3 3 つぎの極限値を求めよ．
(2) $\100dpi \lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^x-e^{-x}}{x}$

(解答)
$\100dpi \lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^x-1}{x}=1$ を用い， $\100dpi \lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{-x}-1}{x}$ の値を求める．
$\100dpi t=-x$ とおくと， $\100dpi x\rightarrow 0$ ならば $\100dpi t\rightarrow 0$ であるから
$\100dpi \lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{-x}-1}{x} =\lim_{t\rightarrow 0}\frac{e^{t}-1}{-t}=-1$
となるので，
$\100dpi \lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^x-e^{-x}}{x} =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^x-1}{x}-\frac{e^{-x}-1}{x}=1-(-1)=2$

ポイント：
$\100dpi \lim_{t\rightarrow 0}\frac{\log (1+t)}{t} =\lim_{t\rightarrow 0}\log (1+t)^{\frac{1}{t}}=\log e=1$ $\100dpi \lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^x-1}{x}=1$ を示す．
$\100dpi t=e^x-1$ とおくと， $\100dpi x\rightarrow 0$ ならば $\100dpi t\rightarrow 0$ であるから
$\100dpi \lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^x-1}{x} =\lim_{t\rightarrow 0}{\frac{t}{\log (1+t)}}=1$

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