入門微分積分 (培風館、三宅 敏恒著）のp19 問題1.3 5 (1)の解答・解説

問題1.3 5 のとき，つぎの(1)?(4)を示せ( のとき指数関数 は，このようにして定義する． のときも同様)．


(1) が自然数のとき， となる がただ つ存在することを示せ．この を
と書く．

(解答)
とおくと，
  ，
である． は連続関数なので，中間値の定理より， は の区間に解を持つ．また， は単調増加関数なので， は の区間にただ つの解を持つ．
よって， となる がただ つ存在することが示せた．

ポイント：
が において連続で ， ならば，
は の区間に解を持つ．
が単調増加関数ならば， の解は， 個または 個である．