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入門微分積分 (培風館、三宅 敏恒著）のp19 の解答・解説
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問題1.3 5 
のとき，つぎの(1)?(4)を示せ( のとき指数関数 
は，このようにして定義する． 
のときも同様)．
(2)
が正の有理数であり 
のとき， ^m)
と定義する．
この定義は
， 
の
とり方によらないことを示せ．
また ， 
が有理数で 
のとき 
である
ことを示せ．
(2)
この定義は
とり方によらないことを示せ．
また
ことを示せ．
(解答)
のただ 
つの解 
に対し， ^m=a^{\frac{m}{n}})
である．
また，^m=a^m)
となる． ^n=(a^m))
より， ^{\frac{1}{n}})
である．
よって，^{\frac{1}{n}}=a^{\frac{m}{n}})
であることが示せた．
ここで，
のただ つの解を 
とおくと， ^{\frac{1}{n}}=a^{\frac{m}{n}})
である． は， 
の解である． ^{\frac{1}{nk}}=a^{\frac{mk}{nk}})
となるので，
が成り立つ． よって， の定義は ， のとり方によらないことが示せた．
( 
と 
は互いに素， 
)， 
( 
と 
は互いに素， 
)とおく． 
のとき， ， は正であり， 
である． より， 
の解 )
に対し， ^{ps} < (a^{\frac{1}{qs}})^{qr})
となるので， 
である．よって， であることが示せた．
また，
よって，
ここで，
ポイント：
^m=a^{\frac{m}{n}}\Longleftrightarrow(a^m)^{\frac{1}{n}}=a^{\frac{m}{n}})