入門微分積分 (培風館、三宅敏恒著）のp19 問題1.3 5 (3)の解答・解説

入門微分積分 (培風館、三宅敏恒著）のp19 の解答・解説

問題1.3 5 $\100dpi a > 1$ のとき，つぎの(1)?(4)を示せ( $\100dpi a > 1$ のとき指数関数 $\100dpi a^x$ は，このようにして定義する． $\100dpi 0 < a < 1$ のときも同様)．

(3) $\100dpi x\geqq 0$ が実数とする． $\100dpi \{x_{n}\}$ を単調増加な有理数列で $\100dpi \lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=x$ となるものとする．
$\100dpi \{a^{x_{n}}\}$ は収束すること，およびこの極限値は数列 $\100dpi \{x_{n}\}$ のとり方によらないことを示せ．
これを用いて $\100dpi a^x=\lim_{n\rightarrow \infty }a^{x_{n}}$ と定義する．また， $\100dpi x < 0$ のとき $\100dpi a^{x}=\frac{1}{a^{-x}}$ と定義する．

(解答)
$\100dpi x_{n}=\frac{p}{q}$ ( $\100dpi p$ と $\100dpi q$ は互いに素， $\100dpi q > 0$ )， $\100dpi x_{n+1}=\frac{r}{s}$ ( $\100dpi r$ と $\100dpi s$ は互いに素， $\100dpi s > 0$ )とおく． $\100dpi \frac{p}{q} < \frac{r}{s}$ のとき， $\100dpi ps < qr$ である． $\100dpi a^{\frac{1}{qs}} > 1$ より， $\100dpi (a^{\frac{1}{qs}})^{ps} < (a^{\frac{1}{qs}})^{qr}$ となるので， $\100dpi a^{\frac{p}{q}} < a^{\frac{r}{s}}$ である．よって， $\100dpi a^{x_{n}} < a^{x_{n+1}}$ であるので， $\100dpi \{a^{x_{n}}\}$ は単調増加な有理数列である．また， $\100dpi a^{x_{n}}\leqq a^{x}$ となるので， $\100dpi \{a^{x_{n}}\}$ は有界である．以上より， $\100dpi \{a^{x_{n}}\}$ は収束することが示せた．

ポイント：
$\100dpi a > 1$ のとき， $\100dpi x$ ， $\100dpi y$ が整数で， $\100dpi x < y$ ならば， $\100dpi a^x < a^y$

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