入門微分積分 (培風館、三宅敏恒著）のp19 問題1.3 5 (4)の解答・解説

入門微分積分 (培風館、三宅敏恒著）のp19 の解答・解説

問題1.3 5 $\100dpi a > 1$ のとき，つぎの(1)?(4)を示せ( $\100dpi a > 1$ のとき指数関数 $\100dpi a^x$ は，このようにして定義する． $\100dpi 0 < a < 1$ のときも同様)．

(4) このようにして，すべての実数 $\100dpi x$ に対して定義された関数 $\100dpi y=a^x$ は連続関数であることを示せ．

(解答)
$\100dpi \lim_{n\rightarrow \infty }a^{\frac{1}{n}}=1$ より， $\100dpi |h| < \frac{1}{n}$ をとると， $\100dpi a^{-\frac{1}{n}} < a^h < a^{\frac{1}{n}}$ なので，
$\100dpi \lim_{h\rightarrow 0}a^{h}=1$
である．任意の実数 $\100dpi x_{0}$ に対し，
$\100dpi \lim_{x\rightarrow x_{0}}a^x=a^{x_{0}}\lim_{x\rightarrow x_{0}}a^{x-x_{0}} =a^{x_{0}}\cdot 1=a^{x_{0}}$

ポイント：
$\100dpi \lim_{h\rightarrow 0}a^{h}=1$

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入門微分積分 (培風館、三宅 敏恒著）のp19 問題1.3 5 (4)の解答・解説

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