入門微分積分 (培風館、三宅敏恒著）のp23 問題1.4 1 の解答・解説

入門微分積分 (培風館、三宅敏恒著）のp23 の解答・解説

問題1.4 1 数列 $\100dpi \{a_{n}\}$ ， $\100dpi \{b_{n}\}$ が各々 $\100dpi \alpha$ ， $\100dpi \beta$ に収束するならば，数列 $\100dpi \{a_{n}+b_{n}\}$ は $\100dpi \alpha +\beta$
に収束することを， $\100dpi \epsilon$ 論法で示せ．

(解答)
任意に $\100dpi \epsilon > 0$ をとる． $\100dpi \{a_{n}\}$ が $\100dpi \alpha$ に収束するから，正数 $\100dpi N_{1}$ が存在して， $\100dpi n > N_{1}$ をみたすならば， $\100dpi |a_{n}-\alpha | < \frac{\epsilon }{2}$ が成り立つ．
同様に， $\100dpi \{b_{n}\}$ が $\100dpi \beta$ に収束するから，正数 $\100dpi N_{2}$ が存在して， $\100dpi n > N_{2}$ をみたすならば， $\100dpi |b_{n}-\beta | < \frac{\epsilon }{2}$ が成り立つ．
よって， $\100dpi N=\max\{N_{1},N_{2}\}$ とおくと， $\100dpi n > N$ ならば $\100dpi n > N_{1}$ ， $\100dpi n > N_{2}$ であるから， $\100dpi |(a_{n}+b_{n})-(\alpha +\beta )|\leqq |a_{n}-\alpha |+|b_{n}-\beta | < \frac{\epsilon }{2}+\frac{\epsilon }{2}=\epsilon$ が成り立つ．
よって，数列 $\100dpi \{a_{n}+b_{n}\}$ は $\100dpi \alpha +\beta$ に収束する．

ポイント：
$\100dpi \{a_{n}\}$ が $\100dpi \alpha$ に収束するならば，任意の $\100dpi \epsilon > 0$ に対し，正数 $\100dpi N_{1}$ が存在して，
$\100dpi n > N_{1}$ をみたすならば， $\100dpi |a_{n}-\alpha | < \frac{\epsilon }{2}$ が成り立つ．
$\100dpi N=\max\{N_{1},N_{2}\}$ とおくと， $\100dpi n > N$ ならば $\100dpi n > N_{1}$ ， $\100dpi n > N_{2}$ が成り立つ．
$\100dpi |(a_{n}+b_{n})-(\alpha +\beta )|=|(a_{n}-\alpha )+(b_{n}-\beta )|$ が成り立つ．
実数 $\100dpi x$ ， $\100dpi y$ に対し，三角不等式 $\100dpi |x+y|\leqq |x|+|y|$ が成り立つ．
任意に $\100dpi \epsilon > 0$ に対し，正数 $\100dpi N$ が存在して，
$\100dpi n > N$ をみたすならば， $\100dpi |(a_{n}+b_{n})-(\alpha +\beta )| < \epsilon$ が成り立つとき，
数列 $\100dpi \{a_{n}+b_{n}\}$ は $\100dpi \alpha +\beta$ に収束する．

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