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入門微分積分 (培風館、三宅 敏恒著）のp23 の解答・解説
 | 入門微分積分
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問題1.4 5 関数 )
， )
が点 
で連続ならば，関数の定数倍 )
，関数の積
g(x))
も点 で連続であることを， 
論法で示せ．
関数の定数倍について示す．任意に
をとる． 
のとき， は で連続であるから， 
に対し， 
で
ならば， -f(a)| < \epsilon )
となるものが存在する．このとき，
ならば， -0\cdot f(a)|=0 < \epsilon )
が成り立つ．
のとき， は で連続であるから， 
に対し， で
ならば， -f(a)| < \frac{\epsilon }{|c|})
となるものが存在する．このとき，
ならば， -cf(a)|=|c||f(x)-f(a)| < \epsilon )
が成り立つ．
よって，任意の に対し， で
ならば， -cf(a)| < \epsilon )
となるものが存在するので， も点 で連続であることが示せた．
関数の積について示す． ， は 
で連続であるから， 
， 
が存在し，
ならば， | < M)
， | < M)
が成り立つ．任意に をとる． ， が で連続であるから， に対し， 
， 
で
-f(a)| < \displaystyle{\frac{\epsilon }{2M}} \\ |x-a| < \delta _{3}\mbox{ならば}, |g(x)-g(a)| < \displaystyle{\frac{\epsilon }{2M}} \end{cases})
となるものが存在する．このとき，
とおくと，
ならば，
g(x)-f(a)g(a)|=|f(x)g(x)-f(a)g(x)+f(a)g(x)-f(a)g(a)|)
-f(a)||g(x)|+|f(a)||g(x)-g(a)|)
が成り立つ．
よって，任意の に対し， で
ならば， g(x)-f(a)g(a)| < \epsilon )
となるものが存在するので， も点 で連続であることが示せた．
関数の定数倍について示す．任意に
となるものが存在する．このとき，
が成り立つ．
となるものが存在する．このとき，
が成り立つ．
よって，任意の
となるものが存在するので，
関数の積について示す．
が成り立つ．任意に
となるものが存在する．このとき，
が成り立つ．
よって，任意の
となるものが存在するので，
(解答)
関数の定数倍について
のときしか は存在しないので，
のときと のときで，場合分けをして考える．
関数の積について
が で連続であるとき， ， 
が存在し，
ならば， が成り立つ．
とおくと， ならば， 
g(x)-f(a)g(a)=f(x)g(x)-f(a)g(x)+f(a)g(x)-f(a)g(a))
-f(a))g(x)+f(a)(g(x)-g(a)))
という式変形は良く使うので，覚えておくと良い．
)
ならば， が成り立つとき，
は，条件 をみたすので， | < M)
が成り立つ．
関数の定数倍について
関数の積について
という式変形は良く使うので，覚えておくと良い．
ポイント：