入門微分積分 (培風館、三宅敏恒著）のp53 問題2.4 6 (1)の解答・解説

入門微分積分 (培風館、三宅敏恒著）のp53 の解答・解説

問題2.4 6 つぎの値の近似値を，与えられた関数の有限マクローリン展開の， $\100dpi x^5$ の項まで計算して求めよ．また誤差も簡単に評価せよ．
(1) $\100dpi e^{\frac{1}{2}}$ $\100dpi \left(e^x,x=\frac{1}{2}$ を用いよ． $\100dpi \right)$

(解答)
$\100dpi e^x$ のマクローリン展開を $\100dpi n=6$ として書くと
$\100dpi e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^5}{5!} +\frac{e^{\theta x}x^6}{6!} (0 < \theta < 1)$
よって， $\100dpi x=\frac{1}{2}$ とすると
$\100dpi e^{\frac{1}{2}}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2!}\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 +\frac{1}{3!}\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3+\frac{1}{4!}\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^4 +\frac{1}{5!}\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^5$
$\100dpi =1.6486$
誤差を評価する． $\100dpi 2\leqq e\leqq 3$ より
$\100dpi |R_{6}|=\left|\frac{e^{\frac{\theta }{2}}}{6!}\cdot \frac{1}{2^6}\right| < \frac{1}{6!}\cdot 3\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^6 < 0.0001$

ポイント：
$\100dpi f(x)=e^x$ とすると， $\100dpi f^{(n)}(x)=e^x$ より， $\100dpi f^{(6)}(\theta x)=e^{\theta x}$

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