入門微分積分 (培風館、三宅敏恒著）のp53 問題2.4 6 (2)の解答・解説

入門微分積分 (培風館、三宅敏恒著）のp53 の解答・解説

問題2.4 6 つぎの値の近似値を，与えられた関数の有限マクローリン展開の， $\100dpi x^5$ の項まで計算して求めよ．また誤差も簡単に評価せよ．
(2) $\100dpi \log 2$ $\100dpi \left(\log{\frac{1+x}{1-x}},x=\frac{1}{3} alt=$ を用いよ． $\100dpi \right)$

(解答)
$\100dpi \log{\frac{1+x}{1-x}}$ のマクローリン展開を $\100dpi n=6$ として書くと
$\100dpi \log{\frac{1+x}{1-x}}=2x+\frac{2}{3}x^3+\frac{2}{5}x^5 +\frac{-\frac{1}{(1+\theta x)^6}+\frac{1}{(1-\theta x)^6}}{6}x^6 (0 < \theta < 1)$
よって， $\100dpi x=\frac{1}{3}$ とすると
$\100dpi \log{2}=2\cdot \frac{1}{3}+\frac{2}{3}\cdot \left(\frac{1}{3}\right)^3 +\frac{2}{5}\cdot \left(\frac{1}{3}\right)^5$
$\100dpi =0.693004$
誤差を評価する．
$\100dpi |R_{6}|=\left|\frac{-\frac{1}{(3+\theta )^6}+\frac{1}{(3-\theta )^6}}{6}\right| < \frac{1}{6}\left(\frac{1}{2^6}-\frac{1}{4^6}\right) < 0.00257$

ポイント：
$\100dpi f(x)=\log{\frac{1+x}{1-x}}$ とすると， $\100dpi f^{(n)}(x)=\frac{(-1)^{n-1}\cdot (n-1)!}{(1+x)^n}+\frac{(n-1)!}{(1-x)^n}$ より，
$\100dpi f^{(6)}(\theta x)=-\frac{5!}{(1+\theta x)^6}+\frac{5!}{(1-\theta x)^6}$

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