入門微分積分 (培風館、三宅敏恒著）のp9 問題1.1 1 (1)の解答・解説

入門微分積分 (培風館、三宅敏恒著）のp9 の解答・解説

問題1.1 1 つぎの数列 $\100dpi \{a_{n}\}$ の極限を求めよ．
(1) $\100dpi a_{n}=\left(1-\frac{1}{n}\right)^n$

(解答)
$\100dpi \lim_{n\rightarrow \infty }a_{n} =\lim_{n\rightarrow \infty }\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n} =\lim_{n\rightarrow \infty }\left(\frac{n-1}{n}\right)^{n} =\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{1}{\left(\frac{n}{n-1}\right)^{n}}$

$\100dpi =\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{1}{\left(1+\frac{1}{n-1}\right)^{n}} =\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{1}{\Big\{\left(1+\frac{1}{n-1}\right)^{n-1}\Big\} ^{\frac{n}{n-1}}}=e^{-1}$

ポイント：
$\100dpi \lim_{n\rightarrow \infty }\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=e$

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