入門微分積分 (培風館、三宅敏恒著）のp9 問題1.1 2 (1)の解答・解説

入門微分積分 (培風館、三宅敏恒著）のp9 の解答・解説

問題1.1 2 つぎの数列は有界で単調増加であることを示し、極限を求めよ．
(1) $\100dpi a_{1}=1$ 、 $\100dpi a_{n+1}=\sqrt{a_{n}+1}$

(解答)
$\100dpi a_{n+1}-2=\sqrt{a_{n}+1}-2$

$\100dpi =\frac{(\sqrt{a_{n}+1}-2)(\sqrt{a_{n}+1}+2)}{\sqrt{a_{n}+1}+2}$

$\100dpi =\frac{a_{n}-3}{\sqrt{a_{n}+1}+\sqrt{a_{n-1}+1}}$

となるので，

$\100dpi a_{n} < 2 \Longrightarrow a_{n+1} < 2$

である． $\100dpi a_{1}=1 < 2$ より

$\100dpi a_{n} < 2$

となるので，有界である．

$\100dpi a_{n+1}-a_{n}=\sqrt{a_{n}+1}-\sqrt{a_{n-1}+1}$

$\100dpi =\frac{(\sqrt{a_{n}+1}-\sqrt{a_{n-1}+1})(\sqrt{a_{n}+1}+\sqrt{a_{n-1}+1})} {\sqrt{a_{n}+1}+\sqrt{a_{n-1}+1}}$

$\100dpi =\frac{a_{n}-a_{n-1}}{\sqrt{a_{n}+1}+\sqrt{a_{n-1}+1}}$

となるので，

$\100dpi a_{n}-a_{n-1} > 0 \Longrightarrow a_{n+1}-a_{n} > 0$

である． $\100dpi a_{2}-a_{1}=\sqrt{a_{1}+1}-a_{1}=\sqrt{2}-1 > 0$ より

$\100dpi a_{n+1}-a_{n} > 0$

となるので，単調増加である．

数列 $\100dpi \{a_{n}\}$ は，有界で単調増加なので，収束する．その値を $\100dpi \alpha$ とおくと，

$\100dpi \lim_{n\rightarrow \infty }a_{n+1}=\lim_{n\rightarrow \infty }\sqrt{a_{n}+1}$

$\100dpi \alpha =\sqrt{\alpha +1}$

$\100dpi \alpha ^2=\alpha +1$ かつ $\100dpi \alpha \geqq 0$

$\100dpi \alpha =\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

ポイント：
「 $\100dpi a_{n} < M \Longrightarrow a_{n+1} < M$ 」かつ $\100dpi a_{1} < M$ $\100dpi \Longrightarrow$ すべての $\100dpi n$ に対し， $\100dpi a_{n} < M$
数列 $\100dpi \{a_{n}\}$ は，有界 $\100dpi \Longleftrightarrow$ すべての $\100dpi n$ に対し， $\100dpi a_{n} < M$

「 $\100dpi a_{n} > a_{n-1} \Longrightarrow a_{n+1} > a_{n}$ 」かつ $\100dpi a_{2} > a_{1}$ $\100dpi \Longrightarrow$ すべての $\100dpi n$ に対し， $\100dpi a_{n+1} > a_{n}$
数列 $\100dpi \{a_{n}\}$ は，単調増加 $\100dpi \Longleftrightarrow$ すべての $\100dpi n$ に対し， $\100dpi a_{n+1} > a_{n}$

数列 $\100dpi \{a_{n}\}$ は，有界で単調増加 $\100dpi \Longrightarrow$ 数列 $\100dpi \{a_{n}\}$ は，収束する．

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