入門微分積分 (培風館、三宅敏恒著）のp9 問題1.1 2 (2)の解答・解説

入門微分積分 (培風館、三宅敏恒著）のp9 の解答・解説

問題1.1 2 つぎの数列は有界で単調増加であることを示し、極限を求めよ．
(2) $\100dpi a_{1}=1$ 、 $\100dpi a_{n+1}=\frac{3a_{n}+4}{2a_{n}+3}$

(解答)
$\100dpi a_{n} > 0$ ならば， $\100dpi a_{n+1}=\frac{3a_{n}+4}{2a_{n}+3} > 0$
である． $\100dpi a_{1}=1 > 0$ より， $\100dpi a_{n} > 0$ である．
$\100dpi a_{n+1}-2=\frac{3a_{n}+4}{2a_{n}+3}-2$
$\100dpi =\frac{-a_{n}-2}{2a_{n}+3}$
となるので，
$\100dpi 0 < a_{n} < 2 \Longrightarrow 0 < a_{n+1} < 2$
である． $\100dpi 0 < a_{1}=1 < 2$ より
$\100dpi a_{n} < 2$
となるので，有界である．

$\100dpi a_{n+1}-a_{n}=\frac{3a_{n}+4}{2a_{n}+3}-\frac{3a_{n-1}+4}{2a_{n-1}+3}$
$\100dpi =\frac{a_{n}-a_{n-1}}{(2a_{n}+3)(2a_{n-1}+3)}$
となるので，
$\100dpi a_{n}-a_{n-1} > 0 \Longrightarrow a_{n+1}-a_{n} > 0$
である． $\100dpi a_{2}-a_{1}=\frac{3a_{1}+4}{2a_{1}+3}-a_{1}=\frac{2}{5} > 0$ より
$\100dpi a_{n+1}-a_{n} > 0$
となるので，単調増加である．

数列 $\100dpi \{a_{n}\}$ は，有界で単調増加なので，収束する．その値を $\100dpi \alpha$ とおくと，
$\100dpi \lim_{n\rightarrow \infty }a_{n+1} =\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{3a_{n}+4}{2a_{n}+3}$
$\100dpi \alpha =\frac{3\alpha +4}{2\alpha +3}$ かつ $\100dpi 0 < \alpha < 2$
$\100dpi 2\alpha ^2+3\alpha =3\alpha +4$ かつ $\100dpi 0 < \alpha < 2$
$\100dpi \alpha =\sqrt{2}$

ポイント：
「 $\100dpi m < a_{n} < M \Longrightarrow m < a_{n+1} < M$ 」かつ $\100dpi m < a_{1} < M$
$\100dpi \Longrightarrow$ すべての $\100dpi n$ に対し， $\100dpi m < a_{n} < M$
数列 $\100dpi \{a_{n}\}$ は，有界 $\100dpi \Longleftrightarrow$ すべての $\100dpi n$ に対し， $\100dpi a_{n} < M$

「 $\100dpi a_{n} > a_{n-1} \Longrightarrow a_{n+1} > a_{n}$ 」かつ $\100dpi a_{2} > a_{1}$ $\100dpi \Longrightarrow$ すべての $\100dpi n$ に対し， $\100dpi a_{n+1} > a_{n}$
数列 $\100dpi \{a_{n}\}$ は，単調増加 $\100dpi \Longleftrightarrow$ すべての $\100dpi n$ に対し， $\100dpi a_{n+1} > a_{n}$

数列 $\100dpi \{a_{n}\}$ は，有界で単調増加 $\100dpi \Longrightarrow$ 数列 $\100dpi \{a_{n}\}$ は，収束する．

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