入門微分積分 (培風館、三宅敏恒著）のp9 問題1.1 3 の解答・解説

入門微分積分 (培風館、三宅敏恒著）のp9 の解答・解説

問題1.1 3 $\100dpi a > 0$ のとき， $\100dpi \lim_{n\rightarrow \infty }\sqrt[n]{a}=1$ を示せ．

(解答)
$\100dpi a > 1$ と仮定する． $\100dpi a_{n}=\sqrt[n]{a}$ とおく．
$\100dpi \{a_{n}\}$ は単調減少数列で $\100dpi a_{n} > 1$ であるから，極限値 $\100dpi \alpha(\geqq 1)$ をもつ．
さらに $\100dpi \alpha > 1$ ならば $\100dpi \alpha =1+h(h > 0)$ とおくと，
$\100dpi \alpha ^n=(1+h)^n\geqq 1+nh\rightarrow \infty$ より，十分大きな $\100dpi n$ に対し $\100dpi a < \alpha ^n$ となるので，
$\100dpi a_{n}=\sqrt[n]{a}\geqq \alpha$ であることに矛盾する．よって， $\100dpi \alpha =1$

次に， $\100dpi 0 < a < 1$ と仮定する． $\100dpi a_{n}=\sqrt[n]{a}$ ， $\100dpi b=\frac{1}{a}$ とおくと，
$\100dpi a_{n}=\frac{1}{\sqrt[n]{b}}$ ， $\100dpi b > 1$ である．
$\100dpi b > 1$ より， $\100dpi \lim_{n\rightarrow \infty }\sqrt[n]{b}=1$ なので， $\100dpi \lim_{n\rightarrow \infty }a_{n}=1$ である．

最後に， $\100dpi a=1$ と仮定する． $\100dpi \sqrt[n]{a}=1$ となるので， $\100dpi \lim_{n\rightarrow \infty }\sqrt[n]{a}=1$ である．

以上より， $\100dpi a > 0$ のとき， $\100dpi \lim_{n\rightarrow \infty }\sqrt[n]{a}=1$ であることが示せた．

ポイント：
$\100dpi \{a_{n}\}$ は単調減少数列で $\100dpi a_{n} > c$ であるとき，極限値 $\100dpi \alpha(\geqq c)$ をもつ．
$\100dpi n=1$ のとき， $\100dpi (1+h)^n=1+nh$ ，
$\100dpi n\geqq 2$ のとき，二項定理より， $\100dpi (1+h)^n=1+nh+\sum_{k=2}^{n}\co{n}{k}h^k > 1+nh$ ，
となるので， $\100dpi (1+h)^n\geqq 1+nh$ が成り立つ．
$\100dpi \{a_{n}\}$ は単調減少数列であり，極限値 $\100dpi \alpha$ をもつので， $\100dpi a_{n}\geqq \alpha$ が成り立つ．
「 $\100dpi 0 < a < 1\Longleftrightarrow \frac{1}{a} > 1$ 」である．
$\100dpi \lim_{n\rightarrow \infty }a_{n}=\alpha$ ， $\100dpi \lim_{n\rightarrow \infty }b_{n}=\beta$ のとき， $\100dpi \lim_{n\rightarrow \infty }\frac{a_{n}}{b_{n}}=\frac{\alpha }{\beta }$ である．

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