入門微分積分 (培風館、三宅敏恒著）のp9 問題1.1 5 (1)の解答・解説

入門微分積分 (培風館、三宅敏恒著）のp9 の解答・解説

問題1.1 5 つぎの問いに答えよ．
(1) $\100dpi \sqrt{2}$ は有理数でないことを示せ．

(解答)
$\100dpi \sqrt{2}$ は有理数であると仮定する．このとき， $\100dpi \sqrt{2}=\frac{m}{n}$ ( $\100dpi m,n$ 互いに素な整数)
とおける．
$\100dpi 2n^2=m^2$
となるので， $\100dpi m$ は $\100dpi 2$ の倍数でなければならない．よって， $\100dpi m=2k$ ( $\100dpi k$ は整数)
とおける．このとき，
$\100dpi 2n^2=(2k)^2$
$\100dpi n^2=2k^2$
となるので， $\100dpi n$ も $\100dpi 2$ の倍数でなければならない．これは， $\100dpi m$ ， $\100dpi n$ が互いに素な
整数であることに矛盾する．
よって， $\100dpi \sqrt{2}$ は有理数でないことが示せた．

ポイント：
$\100dpi \alpha$ が有理数ならば， $\100dpi \alpha =\frac{m}{n}$ ( $\100dpi m,n$ ：互いに素な整数) とおける．

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