入門微分積分 (培風館、三宅敏恒著）のp9 問題1.1 5 (3)の解答・解説

入門微分積分 (培風館、三宅敏恒著）のp9 の解答・解説

問題1.1 5 つぎの問いに答えよ．
(3) 無限小数 $\100dpi \alpha$ が循環小数ならば $\100dpi \alpha$ は有理数である．

(解答)
$\100dpi \alpha =m.c_{1}c_{2}\cdots\dot{c}_{N+1}\cdots\dot{c}_{N+l}$ とする． $\100dpi \alpha$ の小数第 $\100dpi n$ 位までとった小数を $\100dpi a_n$ とすると，定義より $\100dpi \lim_{n\rightarrow \infty }a_{n}=\alpha$ である．
任意の $\100dpi t$ に対して， $\100dpi {10}^la_{N+(t+1)l}-a_{N+tl}={10}^la_{N+l}-a_{N}$ であるから，この両辺の極限をとると，
$\100dpi \lim_{n\rightarrow \infty }({10}^la_{N+(t+1)l}-a_{N+tl})={10}^la_{N+l}-a_{N}$
$\100dpi ({10}^l-1)\alpha ={10}^la_{N+l}-a_{N}$
$\100dpi \alpha =\frac{{10}^la_{N+l}-a_{N}}{({10}^l-1)}$
となるので， $\100dpi \alpha$ は有理数である．

ポイント：
$\100dpi a_{N+tl}=a_{N} +0.\underbrace {0\cdots0}_{N}\underbrace {c_{N+l+1}\cdotsc_{N+(t+1)l}}_{tl}$ である．

$\100dpi a_{N+(t+1)l}=a_{N+l} +0.\underbrace {0\cdots0}_{N+l}\underbrace {c_{N+l+1}\cdotsc_{N+(t+1)l}}_{tl}$ なので，

$\100dpi {10}^{l}a_{N+(t+1)l}=10^la_{N+l} +0.\underbrace {0\cdots0}_{N}\underbrace {c_{N+l+1}\cdotsc_{N+(t+1)l}}_{tl}$ である．

よって， $\100dpi {10}^{l}a_{N+(t+1)l}-a_{N+tl}={10}^la_{N+l}-a_{N}$ である．

$\100dpi l$ は自然数より， $\100dpi {10}^l-1$ ， $\100dpi {10}^la_{N+l}-a_{N}$ も自然数である．

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