入門微分積分 (培風館、三宅敏恒著）のp9 問題1.1 5 (4)の解答・解説

入門微分積分 (培風館、三宅敏恒著）のp9 の解答・解説

問題1.1 5 つぎの問いに答えよ．
(4) 任意の実数 $\100dpi \alpha$ は有限または無限小数で表されることを示せ．
(よって実数とは有限および無限小数の全体ということができる．)

(解答)
任意の実数 $\100dpi \alpha$ に対し， $\100dpi m\leqq |\alpha | < m+1$ を満たす整数 $\100dpi m(m\geqq 0)$ がただ $\100dpi 1$ つ存在する． $\100dpi a_{1}=|\alpha |-m$ とおくと， $\100dpi 0\leqq a_{1} < 1$ より， $\100dpi n_{1}\leqq 10a_{1} < n_{1}+1$ を満たす整数 $\100dpi n_{1}(0\leqq n_{1}\leqq 9)$ がただ $\100dpi 1$ つ存在する． $\100dpi a_{2}=a_{1}-\frac{n_{1}}{10}$ とおくと， $\100dpi 0\leqq a_{2} < \frac{1}{10}$ より， $\100dpi n_{2}\leqq 10^2a_{2} < n_{2}+1$ を満たす整数 $\100dpi n_{2}(0\leqq n_{2}\leqq 9)$ がただ $\100dpi 1$ つ存在する．
以下，同様に整数 $\100dpi n_{3}$ ， $\100dpi n_{4}\cdots$ を定めると， $\100dpi |\alpha |=m.n_{1}n_{2}\cdots$ となる．
$\100dpi k\geqq k_{0}$ ならば $\100dpi n_{k}=0$ を満たすような $\100dpi k_{0}$ が存在するとき， $\100dpi |\alpha |$ は有限小数であり，そのような $\100dpi k_{0}$ が存在しないとき， $\100dpi |\alpha |$ は無限小数である．
$\100dpi |\alpha |$ が有限小数ならば， $\100dpi \alpha$ も有限小数であり， $\100dpi |\alpha |$ が無限小数ならば， $\100dpi \alpha$ も無限小数である．よって，題意は示した．

ポイント：
有限または無限小数 $\100dpi m.n_{1}n_{2}\cdots$ に対し，
「 $\100dpi k\geqq k_{0}$ ならば $\100dpi n_{k}=0$ 」を満たすような $\100dpi k_{0}$ が存在する $\100dpi \Longrightarrow$ $\100dpi k$ は有限小数
「 $\100dpi k\geqq k_{0}$ ならば $\100dpi n_{k}=0$ 」を満たすような $\100dpi k_{0}$ が存在する $\100dpi \Longrightarrow$ $\100dpi k$ は無限小数

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